Στο εξωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουμε το τετράγωνο ΒΓΚΛ,
όπως στο διπλανό σχήμα και φέρνουμε τις ΑΚ και ΑΛ.
Ονομάζουμε Η και Δ τα σημεία στα οποία αυτές τέμνουν την πλευρά ΒΓ και φέρνουμε κάθετες σ’ αυτήν. Ονομάζουμε Ε και Ζ τα
σημεία αυτών των καθέτων με τις ΑΒ και ΑΓ.
Τότε το ζητούμενο
τετράγωνο είναι το ΔΕΖΗ.
Πράγματι επειδή η ΔΕ
είναι παράλληλη στη ΒΛ (και οι δύο είναι κάθετες στη ΒΓ),
τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΑΒΛ
είναι όμοια.
Επίσης επειδή η ΔΗ
είναι παράλληλη στη ΛΚ (και οι δύο είναι κάθετες στη
ΒΛ), τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΑΛΚ
είναι όμοια.
Όμοια, επειδή η ΗΖ είναι παράλληλη στην ΚΓ (και οι δύο είναι κάθετες στη ΒΓ), τα τρίγωνο ΑΗΖ και ΑΚΓ είναι όμοια.
Από τις παραπάνω
ομοιότητες των τριγώνων προκύπτει ότι
Κι επειδή ΛΒ=ΛΚ=ΚΓ, έπεται ότι ΔΕ=ΔΗ=ΗΖ και επομένως το (ορθογώνιο) ΔΕΖΗ
είναι τετράγωνο.